Задача по геометрии 8 класс

[Лариса]

Елизавета Юрьевна

Я тоже боюсь электричества. И в хозяйстве, а особенно в стройке физика, геометрия ой как нужны, оказывается...

[Елена25]

По-моему, достаточно знать только то, что
"площадь треугольника = (основание х высоту)/2".
Уж какому это классу соответствует - понятия не имею.

Площади треугольников равны, так как высота одна и та же, а основания равны.

[Елизавета Юрьевна]

Да вот я тоже думала про эту формулу площади, можно и через нее. Муж, не помнив свойств медианы, через это решал как раз.
Но тут походу только Марьянка своей дала, Палонина решала уже при поступлении ранее, рассуждений детей я не увидела - что они видят, медианы свойства или через высоты площадь ищут, так и покрыто мраком пока.

Наталикин Антон небось сходу решит, не думая)

[Larik_M]

Так по большому счету и площадь через высоту и основание можно самому дотумкать. Там очень логичная формула. Но связанная с площадью паралеллограмма и прямоугольник. Сын в 7 пока не проходил площадь треугольника.

[Марьянка]

Да вроде же я написала ) Алина сразу вспомнила свойство медиан. Но сначала ей показалось, что для его применения не хватает еще одной медианы. И только нарисовав ее, поняла, что всего хватает.

По-моему, достаточно знать только то, что
"площадь треугольника = (основание х высоту)/2".

Да нет. Там еще подобие надо знать. По этой формуле только равенство площадей BMN и CMN и подобных пар между собой можно доказать. А то, что они все 6 одинаковой площади, доказывается исходя из свойства, что медианы друг друга разбивают в соотношении 1 к 2, а это через подобие доказывается.

[Елизавета Юрьевна]

Ну когда это очевидно, то легко рассуждать. Интересно, как у детей идет мыслительный процесс, может сам деть дотумкать до понятия площади и научиться вычислять? Большинство вообще сначала не понимает эту тему.

[Елизавета Юрьевна]

Марьянка
да, я прочла про твою, спасибо. Больше никто не написал.

[Елена25]

Не, мне хватило этой формулы, ничего другого я не использовала.

Вернее, даже и её не использовала, а просто тот факт, что площадь треугольника зависит от высоты и основания. Если высота одна и та же, а основания равны, то и площади равны. Всё.

Правда, в уме провела линию, соединяющую точки М и С.
Но что это за линия, совершенно неважно. Просто чтобы разбить четырехугольник на два треугольника.

Если надо, напишу полностью.

[Марьянка]

Ну да, интересно, как доказать равенство площадей, например, BMN и AMK, зная только формулу площади через высоту и основание...

[Larik_M]

Марьянка Ну если не помнить свойства о том, что делят на равновеликие, а есть оно, и что три медианы делят на 6 равновеликих, то:
ДЛя начала рассчитать по этой формуле, что медиана делит треугольник на два с площадью 1/2*h*(основание*1/2) (медиана делит основание на две равные части), то есть 1/2 площади треугольника. А потом провести третью медиану, и если помнить, что они пересекаются в одной точке, (хотя бы ) то рассмотреть треугольники с вершинами в точке пересечения разделенные медианами МК, МО, МN. Которые тоже делят на равные по площади треугольники. И если обозвать треугольнички цифрами для ясности, то получится 1=2; 3=4; 5=6. НО при этом по большим медианам 1+2+6=3+4+5; 6+5+4=3+2+1; 2+3+4=1+6+5 Меням 2 на 1, 4 на 3 и 6 на 5. (из предыдущего равенства)
1+1+5=3+3+5; 5+5+3=3+1+1; 1+3+3=1+5+5
Отсюда 1=3; 5=1;3=5, значит 1=3=5=2=4=6
ВСе равные треугольники.

[Марьянка]

Larik_MТочно ) забавно, что вчера утром я так же разложила и всплыло в памяти про равновеликость, а сегодня и не вспомнила даже )))) зациклилась на 1:2

[Елена25]

Смотрим на рисунок.
Видим там внутри треугольника АВС четыре фигуры - три треугольника (AMK, АВМ, МВN) и четырехугольник KMNC.
Для простоты перенумеруем их как фигуры (нас интересуют только площади фигур) с такими номерами: 1, 2, 3, 4.

Проводим высоту из угла В на сторону АС.
Эта высота - общая для треугольников АВК и КВС. А основания у этих треугольников равны (АК=КС). Следовательно, площади этих треугольников равны.
То есть площади фигур: 1+2=3+4

Теперь проводим высоту из угла А на сторону ВС.
Эта высота - общая для треугольников ABN и ANС. А основания у этих треугольников равны (BN=NС). Следовательно, площади этих треугольников равны.
То есть площади фигур: 2+3=1+4

Отсюда следует, что 2=4.
И дальше, что 1=3.

Теперь пригодится линия МС. Она разбивает четырехугольник 4 на два треугольника 4а (MNC) и 4b (MKC).
Опускаем из точки М высоту на сторону ВС.
Видим, что треугольники 3=4a
Опускаем высоту из точки М на сторону АС.
Видим, что треугольники 1=4b

Вспоминаем, что 1=3, то есть 1=3=4а=4b= 11кв.см
При этом 4=4а+4b= 22кв.см и 4=2= 22кв.см
Всё.
Треугольник АВС =1+2+3+4
То есть 11+22+11+22=66 кв.см

Может, где-то можно и подсократить решение, или сделать красивее.
Я не заморачивалась этим.
Но никаких других геометрических свойств я, как видите, не использовала.

[Larik_M]

1+2=3+4
2+3=1+4
Отсюда следует, что 2=4.
И дальше, что 1=3.

Хе хе это еще обосновать надо. Решить. Выйти на то, что 2=4. Ну они равны конечно в данном случае. Но как решение, то бы не прокатило. В геометрии все так, видишь, что равны, но надо обосновать почему.
Например 1+1+5=3+3+5 решаемо. Убираем с двух частей 5 и делим на два
и выходим на 1=3

[Марьянка]

методом сложения, Ларик )
1+2+2+3=3+4+1+4.
3+1 из обеих частей убираем и получаем 2=4

[Larik_M]

ТОчно )) Я забыла про сложение частей уравнения...

[Елена25]

Марьянка, да. Именно так. Я не написала, чтобы не перегружать описание решения.

[Йордис]

шо такое медиана, я помню. Остальное в этой задаче по нулям)).
м б вспомню, когда у старшей будет геометрия.
в школе была 5 по геометрии, даж экзамен по ней сдавала однажды.

[Жуженька]

Марьянка
Маш, а как вы учитесь? Только лекции слушаете или еще учебник читаете и задания оттуда делаете? Моя только лекции и задания, в учебник не заглядывает.
Задачу нет времени дать).

[Марьянка]

Мои тоже только слушают и выполняют задания. В учебник лезут, если домашку не получается сделать. Т.е. есть вопрос, на который сходу не получается ответить (задача, которую не получается решить) - смотрят теоретический материал к уроку, в теории нет - лезут в учебник. Хотя Слава чаще сразу запрос в яндекс отправляет ) и вот если там не получается найти, то идет в учебник ) но там тоже поиском работает, а не читает все подряд...

[Елизавета Юрьевна]

Задачу нет времени дать).

так она у тебя проходила свойства медианы и площадь треугольника? Неужели не хочешь проверить, как она материал усвоила? Ну ладно, я попросила, конечно некогда, но вам-то экзамен сдавать!